無理だなぁーーー失業保険についてなんですが昨年の３月２４日か２５日から派遣社員として働いてます。被保険者資格取得と喪失の手続きをした期間ですから。待機期間の７日だけは仕事はしていませんが待機期間中は派遣の仕事を週２でしていました。

市民税についてです。おととしの収入は半分以上が失業保険であとは少しのアルバイトでした。毎年市民税の納付書が送られてきていましたが、昨年は送られてきませんでした(確定申告済みです)。国民年金と国民健康保険は払っています。勝手に低収入のため市民税免除かなと思っていたのですが違うのでしょうか？免除は必ず手続きが必要なのですか？

市民税申告の通知書を自動送付する基準は自治体によって異なるので、はっきりしたことは分かりません。
（因みにうちの自治体は、前年普通徴収だった人全員に送られます。）
考えられるのは、「去年確定申告したので、今年も確定申告するんだな」と思われて送付をやめられたのでは？（確定申告した人は住民税の申告は不要になるので）

住民税の免除については、低所得者（年収９８万未満だったかな？）は申告しなくても自動的に免除になりますが、
国保加入の場合は、住民税申告しておくと、国保の保険料が低所得者向けの優遇が受けられることがあるので、申告はしておいたほうが良いですよ。

失業保険って何ヶ月分もらえるんですか？
最初４ヶ月と説明をうけたのですが、もうそれ以降はもらえないのでしょうか

「4ヶ月（120日）」と説明を受けたのであれば「4ヶ月」です。
再就職後一定の期間就労し受給資格を得た後であれば、再度受給することはできます。

再就職手当についてお聞きしたいのですが、退職後、離職票を貰うまでに半月かかると言われ、ハローワークに提出する前から派遣で単発の仕事をしていました。

待機期間の７日だけは仕事はしていませんが待機期間中は派遣の仕事を週２でしていました。シフトは自由で長期でも単発でもどちらでもよい仕事です。できれば正社員でと思って仕事を探していたのですが、見つからなくこのまま派遣でいこうかと思います。派遣紹介会社で雇用保険もかけて貰えるようなので（会社側が長期で続けるようなら加入して欲しいと）、失業保険が給付される前に手続きをしようかと思います。このような場合、再就職手当て貰えるのでしょうか？
当初は続けるつもりはなかったのですが、派遣先が同じなら失業手続きをする前から就業していることになりますか？

貰えないと思うよ派遣て何ヶ月契約とかあんの？更新スパンだね。一年以上就職した会社に在籍出来る見込みないと就職手当はもらえんに。他にも満たさないといけない要件がある。無理だなぁーーー

失業保険についてなんですが
昨年の３月２４日か２５日から派遣社員として働いてます。
今月の２４日で契約満期になります。

これは日数とか足りていて失業保険を貰う事は出来ますか？

働いている日付の通りに雇用保険の被保険者資格取得と喪失がなされているかがわかりません。
通常なら、働き始めた日から資格取得するものですが、派遣の試用、研修期間などを会社が勝手に設けて、正式採用後に保険に入る、なんてしているところも、よくあるので。

被保険者期間というのは、働いていた期間でもないし、賃金から雇用保険料を徴収された月の数でもありません。
被保険者資格取得と喪失の手続きをした期間ですから。